安振平老师问题4614

  已知正数$\,a,b,b\,$满足$\,a+b+c\leqslant3$,求证:$$\frac{a}{4-bc}+\frac{b}{4-ca}+\frac{c}{4-ab}\leqslant1.$$


  出处安振平博客

  证明 根据均值不等式,\begin{align*}\sum\frac{a}{4-bc}&\leqslant\sum\frac{a}{4-(b+c)^2/4}\\&\leqslant\sum\frac{a}{4-(a-3)^2/4}\\&=\sum\frac{4a}{(1+a)(7-a)}.\end{align*}又因为$$\frac{4x}{(1+x)(7-x)}\leqslant\frac29x+\frac19\Longleftrightarrow\frac{(x-1)^2(7-2x)}{(x+1)(7-x)}\geqslant0,$$所以$$\sum\frac{a}{4-bc}\leqslant\sum\left(\frac29a+\frac19\right)\leqslant1.$$

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