对斯托尔茨定理的理解

  今天听了清华大学郑建华教授的数学教学研究报告,其中让我印象最深刻的是郑教授讲到的对斯托尔茨定理的理解.所谓斯托尔茨定理,就是

  (O'Stolz) 设$\,{y_n}\,$是严格递增数列,且$\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=+\infty$.如果$$\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a,$$那么$\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=a$,其中$\,a\,$是有限数或$\,\pm\infty$.

  注意到如果$\,4\,$个数$\,a,b,c,d\,$满足$$\dfrac ab=\dfrac cd,$$那么也有$$\dfrac ab=\dfrac cd=\dfrac{a-c}{b-d}.$$而如果数列$\,\{x_n/y_n\}\,$的极限存在,当$\,n\,$较大时就有$$\dfrac{x_n}{y_n}\approx\dfrac{x_{n-1}}{y_{n-1}},$$进而$$\dfrac{x_n}{y_n}\approx\dfrac{x_{n-1}}{y_{n-1}}\approx\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}.$$这样,斯托尔茨定理的存在就显得非常自然了.当然,我们也可以用同样的方式去理解洛必达法则.

  郑教授还提到了用托普利兹定理证明斯托尔兹定理的方法.所谓托普利兹定理就是

  (Toeplitz) 设正数列$\,\{t_{n,k}\,\}$满足$\,\displaystyle\sum_{k=1}^nt_{n,k}=1\,$且对每一个不超过$\,n\,$的$\,k\,$都有$\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}t_{n,k}=0$.如果数列$\,\{a_n\}\,$的极限是$\,a$,那么也有$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nt_{n,k}a_k=a.$$

它的特殊情形就是一个我们熟知的结论:如果$\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$,那么$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a.$$托普利兹定理就是将算数平均数推广到了加权平均数.

  郑教授说

\begin{align*}\dfrac{x_n}{y_n}&=\dfrac1{y_n}\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\dfrac{y_{k}-y_{k-1}}{y_n}\cdot\dfrac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}},\end{align*}其中$\,x_0=y_0=0$.于是由托普利兹定理立得斯托尔茨定理.

  事实上,斯托尔茨定理并不要求$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{y_{k}-y_{k-1}}{y_n}=0.$$例如取$\,x_n=2^n,y_n=3^n$,此时斯托尔茨定理仍然适用,但是当$\,k=n\,$时,$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{y_{k}-y_{k-1}}{y_n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{3^n-3^{n-1}}{3^n}=\dfrac23.$$所以郑教授这样的证明看似巧妙,但仍欠妥.

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