坐标旋转的三个角度

  设平面上的一点$\,(x,y)\,$绕原点逆时针旋转$\,\theta\,$角后变为$\,(x’,y’)$,我们来从多个角度找出这两个坐标之间的关系.

  设$$\begin{cases}x=r\cos\alpha\\y=r\sin\alpha\end{cases},$$那么$$\begin{cases}x’=r\cos(\alpha+\theta)\\y’=r\sin(\alpha+\theta)\end{cases}.$$

坐标的旋转
这样就有\begin{align*}x’&=r\cos\alpha\cos\theta-r\sin\alpha\sin\theta\\&=x\cos\theta-y\sin\theta,\end{align*}以及$$y’=x\sin\theta+y\cos\theta.$$这样我们就得到$\,(x’,y’)\,$与$\,(x,y)\,$之间的关系为\begin{equation}\label{eq10101}\begin{cases}x’=x\cos\theta-y\sin\theta\\y’=x\sin\theta+y\cos\theta\end{cases}.\end{equation}

  事实上,根据棣莫弗公式我们马上知道$$x’+y’\mathrm i=(x+y\mathrm i)(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta),$$于是比较等号两边的实部和虚部就能得到\eqref{eq10101}式.

  此外,我们还知道旋转是一个线性变换,记为$\,\mathscr P$.于是\begin{align*}(x’,y’)&=\mathscr P(x,y)\\&=\mathscr P(x\bm e_1+y\bm e_2)\\&=x\mathscr P\bm e_1+y\mathscr P\bm e_2,\end{align*}其中$\,\bm e_1\,$和$\,\bm e_2\,$是标准正交基.而我们很容易地知道\begin{align*}\mathscr P\bm e_1&=(\cos\theta,\sin\theta),\\\mathscr P\bm e_2&=(\cos(\pi/2+\theta),\sin(\pi/2+\theta))=(-\sin\theta,\cos\theta),\end{align*}从而也得到了\eqref{eq10101}式.

您的支持将鼓励我继续创作!