多元函数微分学中的反例

  多元函数的连续性和偏导数的存在性、可微性以及连续性之间的关系是:$$偏导数连续\Longrightarrow可微\Longrightarrow\begin{cases}连续\\\\偏导数存在\end{cases},$$其中平行的结论互不蕴涵.

连续但不存在偏导数

  函数$\,f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\,$在原点连续但不存在偏导数.

存在偏导数但不连续(当然也不可微)

  函数$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},&x^2+y^2\neq0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}$$在原点不连续但对两个变量的偏导数都存在.

连续但不可微

  函数$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&x^2+y^2\neq0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}$$在原点连续但不可微.

可微但偏导数不连续

  函数$$f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\dfrac1{\sqrt{x^2+y^2}},&x^2+y^2=1\\0,&x^2+y^2=0\end{cases}$$在原点可微,但是偏导数不连续.

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